原則として実労働時間が1日8時間・週40時間を超えていなければ、残業代は発生しません。
ただし、給与規程において「終業時刻以降の勤務については割増賃金を支給する」等規定している場合は、遅刻した場合であっても終業時刻後の勤務時間に対して割増賃金の支給が必要ですのでご注意ください。

その他の対応方法について、遅刻を繰り返す社員をそのまま放置していると、会社全体に悪影響を及ぼしかねません。多少の遅刻なら問題ないという意識の社員が増えることで、その他の規律などもないがしろにされるおそれがあるでしょう。
新卒入社の社員ということもありまずは事情を聴き、どこに原因があるのか確認することが先決です。

ご質問内容から遅刻原因を読み取ることができませんが、公共交通機関の遅れなどの本人の責任ではない理由の場合、交通遅延の可能性を踏まえて行動し、始業時刻に間に合うよう注意喚起することが必要です。
寝坊の場合は、新卒の社員ということもありまだ社会人生活に慣れていないこと、また時間を守るという意識が薄いことなどが理由として考えられますが、社会人として時間を守ること、その前提として約束を守ることができる人物であると信頼されることの重要性を説明し、改善を促すよう面談を繰り返すことが必要です。
それでも改善が見られない社員に対しては、雇用契約により所定労働時間の労務提供義務があること、また就業規則の懲戒規程により懲戒処分があることを説明します。（入社時に就業規則の説明を行っておくことも重要です。）懲戒処分を行うためには、就業規則に懲戒事項を定めていることが必要ですので予めご確認ください。この段階にくると、懲戒処分のことも視野に入れ、これまでの口頭注意したときの日時、内容のメモを残すこと、書面での通知、それでも改善が見られない場合には懲戒処分（訓戒程度）を行うこととなります。

今後も人手不足により多様な人材を活用していく必要性があると仮定し、人事制度構築によるアプローチも検討されてはいかがでしょうか。
遅刻をしないことなどを含めた貴社が社員に対して求める基本行動を明示し、その発揮度合で評価を行うことを社員に周知することで、貴社が求める基本行動の理解と行動を社員に促すことができます。その評価結果に基づいて、人材育成・人材配置や報酬などの処遇を決定することで、より貴社が社員に求める基本行動が社員に浸透することが期待できます。