まず高年齢雇用継続給付には、２種類ありまして、各受給資格は以下になります。
【高年齢雇用継続基本給付金】
基本手当（再就職手当など基本手当を支給したとみなされる給付を含みます。以下同じ。）を受給していない方を対象とする給付金で、原則として60歳時点の賃金と比較して、60歳以後の賃金（みなし賃金を含む）が60歳時点の75％未満となっている方で、以下の２つの要件を満たした方が対象となります。
１．60歳以上65歳未満の一般被保険者であること。
２．被保険者であった期間が５年以上あること。

【高年齢再就職給付金】
基本手当を受給し再就職した方を対象とする給付金で、基本手当を受給した後、60歳以後に再就職して、再就職後の各月に支払われる賃金が基本手当の基準となった賃金日額を30倍した額の75％未満となった方で、以下の５つの要件を満たした方が対象となります。
１．60歳以上65歳未満の一般被保険者であること。
２．基本手当についての算定基礎期間が5年以上あること。
３．再就職した日の前日における基本手当の支給残日数が100日以上あること。
４．1年を超えて引き続き雇用されることが確実であると認められる安定した職業に就いたこと。
５．同一の就職について、再就職手当の支給を受けていないこと。
（厚生労働省：Q＆A～高年齢雇用継続給付～）

今回の場合は60歳到達時以後も被保険者ですので、高年齢雇用継続基本給付金の申請をすることになります。
具体的には初回の支給申請手続きにおいて、事業主は「雇用保険被保険者六十歳到達時等賃金証明書」と「高年齢雇用継続給付受給資格確認票・（初回）高年齢雇用継続給付雇用継続給付支給申請書」を管轄のハローワークに提出しなければなりません。

なお、今回は給与の低下がないとの事ですので、まだ初回申請をしないかと思いますが、雇用保険被保険者六十歳到達時等賃金証明書は60歳到達時の事業主が提出するものですので、社員の方が何年か先に退職される場合は作成することが困難になったりすることがありますので、あらかじめ提出をしておくのがよろしいかと思います。