回答いたします。
結論から申し上げますと、育児休業給付の申請要件を満たさず、申請することができない状態です。

雇用保険の育児休業給付は、下記の申請要件があります。
１．１歳未満の子を養育するために、育児休業を取得した被保険者であること（２回まで分割取得可）。
２．育児休業を開始した日前２年間に賃金支払基礎日数が11日以上ある（ない場合は就業した時間数が80時間以上の）月が12か月以上あること。
育児休業を開始した日前２年間に上記の月数が12か月ない場合であっても、当該期間中に第１子の育児休業や本人の疾病等により引き続き30日以上賃金の支払を受けることができなかった期間がある場合は、受給要件が緩和され、支給要件を満たす場合があります。
３．１支給単位期間中（支給単位期間とは、育児休業を開始した日から起算した１か月ごとの期間（その１か月の間に育児休業終了日を含む場合はその育児休業終了日までの期間）をいう。以下同じ。）の就業日数が10日以下または就業した時間数が80時間以下であること。

この2番目の要件では、今の会社での賃金支払基礎日数が11日以上ある月が12ヶ月未満であっても、前職を含めて加入期間が12ヶ月以上あれば申請を行うことができます。しかし、公務員共済の期間は雇用保険の加入期間として含めることはできないため要件を満たすことはできず、育児休業給付の支給申請を行うことはできないことになります。

育児休業給付の有無は、休業中の生活に影響の大きい場合があるので、申請できるかどうかは産休・育休に入る前に必ず確認し、
もし休業開始時期の調整などで要件を満たすことができる場合は、できるだけ申請できるようにされたほうがよいと思われます。