要件に該当しているのであれば、扶養にいれるタイミングは自由に決めることが可能です。
要件に該当した当日に扶養に入れる方が保険料の負担等を考えた場合、一番良い選択であると思われますが、一定期間の間は自身で国民健康保険に加入するとしても何ら問題はございません。
ただ、要件に該当した日の後で扶養に入れる場合には協会けんぽであれば申し出日での扶養加入となります。例でいえば11月1日に扶養に入れる要件に該当したが11月5日から扶養に入れる、となった場合には実際に11月5日に手続きを行う必要があります。この手続き日が11月10日になった場合は、11月10日に扶養に入ることになります。当然、この空いた期間については無保険状態になってしまうため国民健康保険等に加入する必要があります。
そのような手続きをすることにメリットがあるのかどうかは不明ですが無保険状態とならないように従業員の方に案内をし、加入要件に該当した日から扶養に入れられる事を案内されるのが良いかと存じます。

なお、組合の場合ですと一定期間が過ぎると加入要件に該当した日からの扶養加入が出来ない場合がございます。御社の保険者がどのような取り扱いであるのかは予め確認をされておくと良いでしょう。