まず、雇用保険育児休業給付金に関してですが、こちらは副業で収入を得たとしても、原則減額或いは不支給になる事はございません。
但し、如何に副業とは言えども１箇月間の就労時間が８０時間を超える場合はこの限りではありませんので注意が必要です。


次に、健康保険・厚生年金保険の保険料免除に関してですが、こちらも原則、会社が育児休業中であると認めた場合は免除は継続となります。
但し、副業の内容によっては社会保険料免除の対象外となる可能性もございますので、こちらも注意が必要です。


いずれにしても、ご質問の様なケースでは雇用保険の育児休業給付金、社会保険料の
免除に関して、特段の影響は無いと考えられます。


余談ですが、育児休業とは育児をする事を目的として法律で定められた休暇の事です。
法律上は育児休業中の副業が禁止されている訳ではありませんが、本来の主旨に反する過ごし方でございます。
厚生労働省による育児介護休業法に関する施行通達でも、育児休業中に他社で就労する事について、
「育児休業とは子を養育する為にする休業であるとする本法の主旨にそぐわないものであると同時に一般的に信義則に反するものと考えられ、事業主の許可を得ずに育児休業期間中に他の事業主の下で就労した事を理由として事業主が労働者を問責する事は許され得るものと解される。」
とされております。


以上を踏まえ、副業について就業規則に届出による許可制と定められているとしたら、その許可を得ずに副業をしていたと言う点で就業規則違反になり得ますし、場合によっては懲戒処分も検討せざるを得ない案件と考えられます。


育児休業中であれ、会社に無断で副業を行うと就業規則違反による懲戒処分が下る可能性がある事を徹底する事をお勧め致します。