御社で、社会保険加入の要件を満たす場合は、11月16日の入社日にて、社保の加入をしなければなりません。また、任意継続被保険者は就職して、健康保険、船員保険、共済組合などの被保険者資格を取得した日に、任意継続被保険者の資格を喪失します。
今回の場合は、11月15日に前職を退職し、11月16日に御社へ入社しているので、そもそも任意継続手続きをしたことが間違っております。御社にて社保加入の手続きをした後、任意継続の取消手続きをする必要があります。
任意継続保険の保険料は、取消手続き行うと還付されますので、11月分を二重に支払うことはございません。ご本人へはその旨ご説明していただき、御社では11月16日付(入社日)にて社保加入手続きをすることとなります。