有期雇用契約が5年を超えた場合（更新含む）、労働者の申し出により無期に転換しないといけません。
上記のことから本文の無期転換は発生しないとして、という前提ですので5年以内（更新含む）の雇用契約（更新含む）ということで回答させていただきます。

有期雇用契約者に「定年」を適用させるという考えはそぐわないかと思います。
ですから、60歳に到達する時点を含んだ期間の雇用契約締結時の書面に「更新をしない」ことを記載することでよろしいかと思います。

ただし、御社では65歳までの再雇用制度を導入されており、トラブル防止の観点からも有期雇用契約者との契約時および契約最終の更新時に60歳以降の契約更新をしない旨の説明をされることをお勧めいたします。
また、65歳を下回る年齢に達した日以降は契約更新を行わない旨の規定は、改正高年齢雇用安定法第9条に違反していると解される場合がございますので、規定されないほうがよろしいかと思います。