労働安全衛生法では、再検査（二次検査）については、会社は「要再検査」という結果を労働者に通知するだけで良いことになっており、二次検査を受診させることは会社の義務ではありません。
また、費用負担に関しても、法令により定められておりませんので、会社が二次検査の費用を負担した場合の領収書の提出に関しましても特段の定めはございません。

従って、労働者に原本提出を強制するのは難しいと思われますが、会社が費用を負担するためには二次検査にかかった費用を把握する必要がありますので、労働者がどうしても原本提出を拒む場合はコピーを提出してもらう、もしくは受診した医療機関から領収書を再発行してもらう等の措置は必要でしょう。

ご認識の通り、会社が全額費用負担した二次検査の費用は当然医療費控除の対象にはなりませんので、労働者が誤って医療費控除をするリスクを回避するという観点から原本を回収されることについては、労働者が納得のうえであれば問題はないと思われます。
尚、会計処理上、原本が必要になる可能性も考えられますので、税理士の先生もしくは税務署へあらかじめご確認されることをお勧めします。