記入の必要性につきまして、面倒かもしれませんが、住民税の算定基礎の二重加算を防止する観点からも前職の会社情報は省略せずに記載されるのが宜しいかと思います。

源泉徴収票は、複写式になっています。
通常３ないし４枚複写で一番下が源泉徴収票でその上は「給与支払報告書」という名称でこれは各市区町村に事業所が提出するものです。つまり住民税の算定基礎となるものです。
その際に前職分の記載があれば、1個人で複数の給与支払報告書があっても、間違って合算することがなく、課税ミスの防止に繋がります。