傷病手当金は、業務外の病気やけがにより働くことができず、給与を受けられない場合に、被保険者の生活を支える制度です。一定の要件を満たせば、退職により健康保険の資格を喪失した後も、引き続き受給できます。

退職後の継続給付を受けるためには、まず、退職日時点で傷病手当金を受給しているか、受給要件を満たしていなければなりません。業務外の傷病により労務不能であり、連続する3日間の待期期間が完成していることなどが求められます。
退職後の受給において特に注意したいのが、退職日に出勤すると、退職後の継続給付を受けられない点です。例えば備品の返却で出社し、出勤扱いとすると、退職後の受給ができなくなりますので、ご注意ください。

また、退職日までに健康保険の被保険者期間が継続して1年以上あることが必要です。当該従業員様は「入社して半年ほど」ですので、1年に足りていません。
しかしながら、貴社に入社する以前の状況により、一定の要件を満たす場合は、通算して加入期間を捉えることができます。
参考として、協会けんぽの事例をご紹介します。
下記URLのQ6をご確認ください。
https://www.kyoukaikenpo.or.jp/faq/benefit/002/index.html
当該従業員様の前職の健康保険と、その加入期間を確認の上、ご案内いただくことを推奨します。

支給期間は、最初に傷病手当金が支給された日から通算して1年6か月です。ただし、退職後に一旦働ける状態となった場合、その後、同じ病気やけがで再び働けなくなっても、継続給付は再開されません。この点は在職中での受給要件と異なりますので、ご注意ください。

退職予定者の被保険者期間、待期期間、退職日の勤務予定などを早めに確認し、本人が制度を知らないまま受給機会を失わないよう、適切に案内することが重要です。