まず、仕事中や通勤途中の事故によるケガや病気には、健康保険は使えません。
労災保険は労働者災害補償保険法に基づき、労働者の業務災害や通勤災害での傷病・後遺障害・死亡に対して、保険給付を行っています。
一方、健康保険は健康保険法に基づき、業務外での傷病・休業・出産・死亡時の補償をするための保険です。
そのため仕事中や通勤途中に負ったケガや病気の治療を受ける際には、健康保険を使うことはできないため、必ず労災保険の手続きを行う必要があります。

よって今回は業務災害となりますので、労災保険の適用を受ける必要がございます。
会社としては労災保険を使うようにしてください。

また、今回のように業務災害でのケガであるのに健康保険を使用させるなど、業務災害が発生したのに、報告しない場合や虚偽の報告をした場合はいわゆる「労災かくし」となり、会社は50万円以下の罰金に処せられることになります（労働安全衛生法120条5号、100条）

そして、労災保険料が高くなるとのことですが、これは労災保険のメリット制のことかと思います。労災保険のメリット制とは、労働災害の発生状況に応じて保険料率や保険料を増減する制度のことです。これは原則として、過去3年間の労災保険の納付済保険料額に対する支給済保険給付額の割合を算出して、それに応じて、3年間の最終年度の翌々年度の労災保険率をマイナス40％～プラス40％の範囲で増減します。
よって、労災保険が多く発生する会社では労災保険料が高くなる可能性があります。

しかし、労災保険料が高くなるからと言って業務災害を隠して、報告義務を怠るのは言語道断です。
労働災害が発生した場合は遅滞なく報告するようにしてください。
報告は労働基準監督署に労働者死傷病報告を提出することになりますが、休業が4日以上と4日未満で様式や提出時期が異なりますので、確認をして提出するようにしてください。