外国籍の方につきまして、就労の在留資格に伴う在留期間がまだ残っているうちに転職する場合であれば、まず14日以内に入国管理局に契約機関（就労する会社）に関する届出を出す必要があります。
その後、入国管理局に届け出ていただいた新たな契約機関（就労する会社）での活動内容が，現にお持ちの在留資格に該当していることを入国管理局で確認しますが、今回採用する予定のWebデザイナーの職務内容は、在留資格「人文知識・国際業務」に該当する業務の為、採用することは問題ございません。
（契約機関に関する届出について、ご参考ください。
http://www.moj.go.jp/nyuukokukanri/kouhou/nyuukokukanri10_00015.html）

また、平成27年4月1日から「出入国管理及び難民認定法の一部を改正する法律」を成立することにより、専門的・技術的分野における外国人の受入れに関する企業等のニーズに柔軟に対応するため、業務に必要な知識の区分（理系・文系）に基づく「技術」と「人文知識・国際業務」の区分をなくし、包括的な在留資格「技術・人文知識・国際業務」へと一本化しました。

従いまして、現在の在留資格に「技術」がなくても、Webデザイナーとして現在の在留資格「人文知識・国際業務」で採用し就労しても問題はございません。次回ビザを更新するときに、在留資格「技術・人文知識・国際業務」に変更されます。
念のため入管に再確認した方が良いでしょう。