人事部が「本人へ終了通知を行う前に公募をかけることはできない」と言っているのは、御社の特定の部署で同じ業務内容の派遣募集が行われると、派遣元会社の営業担当者が次の契約更新の見込みが薄いことを察知する可能性、また新しい案件として募集をオープンにすると派遣社員自身も気がついてしまう可能性があることを懸念するからではないでしょうか。

通常、派遣会社は契約が終了する前の月の下旬から当月の上旬にかけて派遣社員に対して次期契約更新の意思確認を行います。
仮に現在の派遣社員は9月で契約終了になるとして、新しい派遣社員との引継のため最後の月は一緒に勤務してほしいということでしたら就業できるのはフリーの人を除くと8月末契約終了の決まった方であり、10月からの勤務ということであれば同様に9月末契約終了となる方が対象となります。
したがって8月末や9月末に契約終了となる人を紹介してもらうためには、7月から8月にかけて募集を始められないと部署が希望するタイミングでの就業は難しくなる面があります。

このような事情は人事部も理解できると思いますので、勤務中の社員の派遣元会社を除く他の派遣会社に先行して募集を案内してもらうなど人事部と話し合いをすることをお奨めします。