ご質問いただきました件ですが、診断書で「自宅療養を要する」と明記されている期間中は、本人の希望があったとしても原則として就業させるべきではありません。

会社の安全配慮義務は労働者の同意や希望によって免除されるものではなく、医師の就業制限の指示がある状況で就労させた場合、後に体調悪化などが生じると安全配慮義務違反と評価されるリスクが極めて高くなります。 そのため、従業員から「働きたい」と申し出があっても本人主観の希望のみで判断せず、改めて主治医による「就労可能（復職許可）」の診断書を提出してもらい、その客観的な結果に基づいて可否を判断する必要があります。
また、今回のように会社から休職を打診しても本人が就労継続を強く希望する場合であっても、診断書に「自宅療養」等の記載がある限りは、会社の判断として休職（就業禁止）を命じる必要があります。
なお、本人の収入面への不安を和らげるためにも、休業中は健康保険の傷病手当金制度などが利用できる旨を併せて案内いただくのが適切かと存じます。