育児休業中に他社で副業を行う場合の影響等としましては、下記がございます。

①就業規則上の副業規定の確認
まず就業規則の副業に関する、
・申請・届出義務
・競業禁止義務
・秘密保持義務
・会社の信用を毀損する行為の禁止
などの規定を確認し、それに従って対応することとなります。
副業を許可または届出制としている場合、育休中の副業についても同様とするのが一般的です。

②育児休業給付金への影響
育児休業給付金の受給要件の1つとして、「一支給単位期間中の就業日数が10日（10日を超える場合は就業時間数が80時間）以下であること」があります。
この就業日数又は就業時間には副業先での就業も含まれるため、副業先で10日又は80時間を超えた場合は、その支給単位期間における育児休業給付金は不支給となります。
なお、育児休業期間中に賃金が支払われた場合、休業開始時賃金日額×休業日数の13％を超えると育児休業給付金が減額されます。
こちらには副業の賃金は含まれず、雇用保険加入先の事業所から支払われた賃金にて判断することとなります。

③社会保険料免除との関係
原則として副業していても社会保険料免除は引き続き適用可能です。
ただし、恒常的・定期的に働いている場合、休業状態ではないとみなされ免除取消となるおそれがあります。

育児休業は本来、育児に専念させるために労務提供義務を免除する制度です。
副業での就労が長時間になったり、予め勤務日を決めて就労していたりすると育児のための休業という趣旨から外れると判断される可能性があります。
育休中の就労が認められているのはあくまで一時的、臨時的な場合とされていますので、実態として就労状態とならないようご注意ください。