社会保険(健康保険・厚生年金保険)と雇用保険とでは、加入要否の判断基準となる期間が異なるため、貴社での契約期間の長さによって結論が変わります。更新の予定がないこと、およびフルタイム勤務であることを前提に、3つの契約期間に応じた回答を致します。

1．31日未満の場合：社会保険・雇用保険とも加入不要
雇用保険は「31日以上の雇用見込み」がなく、社会保険も2か月以内の適用除外に当たるため、いずれも加入手続きは不要となります。

2．31日以上2か月以内の場合：雇用保険は加入要件を満たし、社会保険は加入不要
社会保険は、契約期間が2か月以内（2か月ちょうどを含む）で更新の予定もないことから適用除外に当たり、加入しません。フルタイムであっても、契約期間が2か月以内であれば加入対象にならない点にご注意ください。ただし、契約書等に更新する旨の記載がある場合などは、当初から加入対象となることがあります。
https://www.nenkin.go.jp/oshirase/topics/2022/0729.files/05.pdf
※短時間労働者のケースも記載されておりますが、2か月以内の雇用期間に関する考え方は同一です。

雇用保険は、31日以上・週20時間以上を満たすため加入要件自体は満たしますが、在籍先との関係で確認すべき点があります(後述)。

3．2か月を超える場合：社会保険・雇用保険とも加入対象
契約期間が2か月を超えると社会保険の適用除外に当たらなくなり、加入対象となります。雇用保険も要件を満たします。

在籍先の会社における雇用保険について
雇用保険は、複数の会社で同時に被保険者となることはできません(65歳以上のマルチジョブホルダー制度を除く)。在籍先が夏の間休業していても、雇用契約が続いており籍が残っていれば通常は在籍先での被保険者資格も継続しています。そのため貴社で資格取得届を提出する必要があるかどうかについて、まず在籍先で資格が継続しているかをご確認頂く必要があります。継続している場合、貴社で資格取得届を提出してもそのまま手続きが進められない可能性がありますので、判断に迷う場合は管轄のハローワークにご確認頂くのが確実です。

更新なし・フルタイムを前提とすると、31日未満は社会保険・雇用保険とも加入不要、31日以上2か月以内は社会保険のみ不要で雇用保険は加入対象、2か月を超える場合は社会保険も加入対象となります。今回は7月から8月との記載ですので2か月を超える契約にはならないと思われ、実際の契約期間が31日以上か否かで雇用保険の加入要否が分かれる、というご理解でよいかと思います。雇用保険については前述のとおり、在籍先での資格の継続状況をあわせてご確認ください。