ご質問の趣旨としては、①前職の資格喪失手続きが完了しているか不明な状況で、②御社側の資格取得手続きを進める必要があるのか、という点かと存じます。

まず、①の前職の資格喪失手続きについてですが、雇用保険の資格喪失手続きと離職票発行手続きは別々に進められる場合があります。そのため、離職票の発行手続きが未了であっても、資格喪失手続き自体は既に完了している可能性があります。なお、資格喪失手続きが完了している場合には、「雇用保険被保険者資格喪失確認通知書」等に雇用保険被保険者番号が記載されているケースがあります。そのため、前職側より離職票はすぐに発行できないと案内されている場合であっても、雇用保険被保険者資格喪失確認通知書等の交付状況をご確認いただくことで、資格喪失手続きが行われているかの参考になるものと思われます。

また、②の資格取得手続きを進める必要があるのかという点についてですが、前職側の資格喪失手続きが完了している場合には、御社側でも資格取得手続きを進めていただく必要があります。仮に前職側で資格喪失手続きが未了であった場合であっても、被保険者番号等の取得手続きに必要な情報が確認できているのであれば、御社側としては期限内に資格取得手続きを進めていただく必要があります。雇用保険の資格取得届については、被保険者となった月の翌月10日までに提出する必要があり、前職の喪失手続きが行われているか否かに関わらず、御社側として上記の期限を守ってお手続きを進める、という理解で差し支えありません。実際に前職側で資格喪失手続きが未了であった場合には、ハローワーク上で前職の被保険者情報が残っていることから、御社側での資格取得手続きが一時的に保留となる可能性はありますが、その場合であっても、資格取得届については先に提出しておくことが望ましいものと思われます。

前職側の手続き状況によって御社側での処理が一時的に保留となる可能性はありますが、御社側としては、資格取得届の提出期限までにお手続きを進めていただければよろしいものと思われます。なお、ハローワークより追加確認や補正等の案内があった場合には、その内容に応じてご対応いただくのがよろしいかと存じます。