現在、登録されている被保険者情報の提供を、所定の方法で依頼することにより、入手することが可能です。
以下、健康保険・厚生年金、雇用保険、それぞれの方法について、ご案内いたします。
なお、取得した情報を元に、在職者の情報と照合することを、通称「台帳照会」と言います。

①健康保険・厚生年金
「厚生年金保険被保険者・国民年金第3号被保険者住所一覧表提供申出書」を作成し、管轄の年金事務所または事務センターへ提出することで、被保険者情報を取得することが可能でございます。
書式は、こちらからダウンロードできます。

https://www.nenkin.go.jp/shinsei/kounen/tekiyo/jigyosho/jushoichiran.html

情報の形式は、紙か電子媒体かを選択できます。
電子媒体の場合、データの記録されたCDと、パスワードの記載された紙が別々に届きますので、ご注意ください。

協会けんぽの場合は、上記方法により、健康保険、厚生年金の両方の記録を確認できます。
健康保険が組合健保、自社健保等の場合は、それぞれの健康保険の保険者にご確認ください。

②雇用保険
「雇用保険適用事業所情報提供請求書」を作成し、管轄のハローワークに提出することで入手できます。

https://jsite.mhlw.go.jp/tokyo-hellowork/kakushu_jouhou/sinsei_todokede/koyounushi/koyou_hoken.html

ポイントは、データ形式で入手したい場合、USBメモリのご用意が必要となります。CD-R、DVD-R等の磁気ディスクでの入手ができません。
詳細は、下記のURLをご確認ください。

https://jsite.mhlw.go.jp/tokyo-hellowork/content/contents/001676988.pdf

資格取得、喪失の手続きは、事象発生の都度実施し、公文書を確認すれば、基本的には問題ないはずです。
しかし、どうしても人間が処理をすることになりますので、漏れが生じる可能性があります。
そのため、定期的に台帳照会をしていただくことをお勧めします。