まず、労働保険とは労働者災害補償保険（以下「労災保険」）と雇用保険を合わせた総称となります。
労災保険はパート・アルバイトを含めた労働者を1日でも1人でも雇っていれば、その事業主は必ず加入手続をしなければなりません。
また、雇用保険は、1 週間の所定労働時間が20 時間以上であり、かつ31日以上の雇用見込みがあれば必ず加入しなければなりません。

今回のケースですと会社設立当初は労働者がおりませんでしたが、今月から労働者を雇用しておりますので、労働保険を成立させる必要がございます。
また、アルバイトが雇用保険の加入要件を満たす場合は、管轄のハローワークに雇用保険適用事業所設置届と雇用保険被保険者資格取得届を提出して手続きをしてください。

なお、労働保険の成立手続を行うよう指導を受けたにもかかわらず、成立手続を行わない事業主に対しては、行政庁の職権による成立手続及び労働保険料の認定決定を行うこととなります。その際は、遡って労働保険料を徴収するほか、併せて追徴金を徴収することとなります。
そして、事業主が故意又は重大な過失により労働保険・保険関係成立届を提出していない期間中に労働災害が生じ、労災保険給付を行った場合は、事業主から遡って労働保険料を徴収（併せて追徴金を徴収）するほかに、労災保険給付に要した費用の全部又は一部を徴収することになります。

今回のケースは労働保険の成立前に労災が発生してしまっておりますが、遡及して労働保険を成立させることにより、アルバイトの方の労災保険の給付は受けられるかと思います。しかし、労災保険成立前に発生した労災ですので、労働基準監督署の判断となりますが故意又は重大な過失となれば、労災保険給付に要した費用の全部又は一部が徴収される可能性がございます。