【改正労働基準法に関するＱ＆Ａ　２－５】には、次のように書かれています。
・時間外労働の上限規制の実効性を確保する観点から、１年についての限度時間及び特別条項により月 45 時間を超えて労働させることができる月数の上限は厳格に適用すべきものであり、ご質問のように対象期間の起算日を変更することは原則として認められません。

・やむを得ず対象期間の起算日を変更する場合は、36協定を再締結した後の期間においても、再締結後の 36 協定を遵守することに加えて、当初の 36 協定の対象期間における１年の延長時間及び限度時間を超えて労働させることができる月数を引き続き遵守しなければなりません。
https://www.mhlw.go.jp/content/000487097.pdf

結論としては、36協定の起算日の変更は、原則認められておりません。
今回の貴社のように、やむを得ない事情で変更する場合、
①当初の36協定：2月1日～翌1月31日
②再締結後の36協定：4月1日～翌3月31日
両方の36協定を遵守する必要がございます。

一般的な勤怠システムでは、2つの36協定のルールを持たせるのは難しく、管理運用が難しくなるかと推察します。
貴社のご状況を踏まえながら、ご検討いただくのがよろしいかと存じます。