ご本人様より提供される母子手帳の写しには以下の記載が必要です。
・子の保護者欄：父母の記載がある
・出生届出証明欄：市区町村の記入・印がある

ご質問のように市区町村の印がないものについては出生届出証明としては無効（印があることではじめて公的な書類と認められる）ですので、ご本人様に再度印のある出生届証明の手配を依頼するか下記の書類でも代用が可能です。
・健康保険の出産手当金の医師の証明ページ（子の生年月日の記載のあるもの）
・住民票
・出生証明書

また、育児休業給付金の初回申請では
・母子手帳
・支給申請期間の賃金台帳
・支給申請期間の出勤簿
等の書類や、そのほかにも給付者によって添付する書類が異なります
添付書類について判断に迷った場合には管轄のハローワークにお問い合わせください。