ご質問の2点について回答いたします。

①管理職であっても生理休暇を取得できるのか？
労働基準法上の管理監督者の場合、以下労働時間の規定が適用除外となります。

（労働時間等に関する規定の適用除外）
第四十一条　この章、第六章及び第六章の二で定める労働時間、休憩及び休日に関する規定は、次の各号の一に該当する労働者については適用しない。
一　別表第一第六号（林業を除く。）又は第七号に掲げる事業に従事する者
二　事業の種類にかかわらず監督若しくは管理の地位にある者又は機密の事務を取り扱う者
三　監視又は断続的労働に従事する者で、使用者が行政官庁の許可を受けたもの

生理休暇については労働基準法上この第六章の二に該当しており、本来管理監督者であれば生理休暇は適用除外になる条文です。

第六章の二　妊産婦等　
（生理日の就業が著しく困難な女性に対する措置）
第六十八条　使用者は、生理日の就業が著しく困難な女性が休暇を請求したときは、その者を生理日に就業させてはならない。

労働時間の概念なく裁量で勤務するのが管理監督者ですので、たとえ半日しか勤務をしていなくとも問題はなく本来的には生理休暇を申請する必要もないということになります。したがって無給とすることもできません。

②生理休暇を1日単位で取得するように伝えてよいか？
生理休暇は１日、半日、時間単位で取得ができるとされているため、1日単位のみしか認めない運用はできません。
ですのでこちらは勤怠システム上で登録ができないということでも時間単位で申請があれば取得をさせる必要があります。