ご本人様の被保険者証の氏名変更についてですが、協会けんぽでは住民票の氏名が変更になっていれば、氏名変更手続きは不要となっております。

以下、協会けんぽのホームページより引用
「マイナンバー制度の導入により、平成30年3月から日本年金機構への被保険者の氏名変更届・住所変更届の提出が原則不要となりました。被保険者の氏名・住所の変更情報については、日本年金機構がマイナンバーを活用して、地方公共団体システム機構（J-LIS）に変更情報の照会を行い、協会けんぽに情報提供を行います。協会けんぽでは日本年金機構から提供を受けた変更情報をもとに氏名変更による新しい保険証の発行を行います。」
(協会けんぽHP　 https://www.kyoukaikenpo.or.jp/event/cat550/simeisyouryaku/)

以上のように手続きは基本的に不要ですが、変更情報の照会は毎月1回しか行われないため、すぐに氏名変更をしたい場合にはこれまで通り、氏名変更届を提出する事も可能です。

次に被扶養者のお子様の保険証の氏名変更ですが、こちらは被扶養者異動届を提出して、氏名変更手続きをすることになりますが、提出する前にお子様の住民票の氏名を変更しておく必要があります。

ご本人様の住民票の氏名は離婚届を提出することで特に手続きすることなく変更されますが、お子様の氏名は手続きをしないと変更されませんので、ご注意ください。
具体的な説明は省略しますが、お子様の氏名を変更するにはお子様の住所地を管轄する家庭裁判所に「子の氏の変更許可」の申し立てをして、許可された後に市区町村役場に届出をして、氏名変更をすることになります。