保育所に入所できないことを事由とする延長対象の要件は、以下の通りです。

①保育所への入所申込みを１歳の誕生日の前日以前（または１歳６か月に達する日以前）に行っていること。

②入所希望日（利用開始日）が１歳の誕生日（または１歳６か月に達する日の翌日）の属する月であること。ただし、入所希望日が誕生日の翌日以降でないこと。（１歳６ヶ月も同様）
※入所希望日が１歳の誕生月（または１歳６ヶ月になる月）であること！
例：毎月１日入所募集の自治体の場合１０月２９日誕生日ならば、入所希望日は１０月１日

③１歳の誕生日（または１歳６か月に達する日の翌日）以後の期間において、当面保育の実施が行われないこと。→保育所とは、児童福祉法３９条に定める保育所等です。

今回のケースの場合は、誕生日9月1日の属する月となりますので、入所希望日が9月1日からの入所不承諾通知書が必要となります。
もし、入所希望日が8月1日入所不承諾通知書の場合で有効期限が翌年3月末までなどとある場合は、疎明書も一緒に添付することで9月も引き続き入所希望していたと判断され、申請可能となります。