労働者派遣法では事業所単位の派遣期間は最長３年と定められております。
この３年を超過してしまう最初の日の事を「抵触日」と言います。
この抵触日を超過してしまうと派遣社員はそのままそこで働き続ける事が
出来ず、契約違反や改正労働者派遣法違反となってしまいます。（これを
通称人材派遣の３年ルールと申します。）

但し、下記の該当する場合は対象外となります。

①60歳以上の派遣労働者。

②派遣元で無期雇用されている派遣労働者。

③終期が明確となっている有期プロジェクトで働く派遣労働者。

④日数限定業務（1箇月の勤務日数が通常の半分以下で且つ10日以下）で
　働く派遣労働者。

⑤産前産後休業、育児休業、介護休業を取得する人の代替の派遣労働者。

労働者派遣法第30条で定められている雇用安定措置の一環として派遣会社
（派遣元）は、派遣労働者が引き続き抵触日以後も派遣先で働く事を希望
する場合は、派遣先企業に派遣労働者の直接雇用を依頼する事が義務付け
られております。
但し、これはあくまで「派遣先企業へ依頼する」事を派遣元に義務付けて
いるのであって、派遣先企業が必ずしも派遣労働者を直接雇用しなければならない
と言う意味合いではございません。

派遣会社との派遣契約内容明示書の中に紛争防止措置条項があるかと思います。
そこに恐らく抵触日以後の取り扱いに関する取り決めが記載されているかと
思いますので、一度、そちらを確認して頂く事をお勧め致します。