シフトを超えた業務時間によって残業が増加する事、勤怠締めがスムーズにいかないこと、この原因は勤怠管理を行う体制に課題があると考えられます。
まずは、人事と現場の両面で次のような観点で現状を把握することが良いかと存じます。

・人事
勤怠締めのスケジュール、勤怠システムの正しい使用方法は十分に周知できているか
勤怠締めの催促は現場及び本人に伝わるように行えているか

・現場
現場でのシフト作成は月間所定労働時間が意識されているか
現場で1日8時間、週40時間という基準が意識されているか
休憩が多いことでシフト時間帯を超える勤務が発生していないか
部署やチーム内で勤怠に対する指導はどのように行われているか
人事から現場への勤怠催促の連絡の後、上長から社員へどのように伝えられているか
勤怠締め作業に負荷があるか

以上のような観点で、現場のマネジャークラスにヒアリングを行うことが良いでしょう。ヒアリングの対象者は、勤怠締めがうまく行っている部署とそうでない部署で複数名、かつ改善につながる話が聞けると思われるマネージャーの方が良いでしょう。さらに、うまく行っている部署のマネージャーで、自身の勤怠にも問題ないマネージャーだとより信頼できる方法が聞けると考えられます。

ヒアリングの前後では、人事としてどのような状況になったら改善といえるのか検討し、その状況に対してどのような課題があるのか、どのような有効手段があるのかをヒアリングで情報収集する流れです。
また、人事の観点だけでなく、経営として勤怠管理を優先事項として位置づけるのか、それとも人事の業務としてスムーズになれば良いのかといった温度感をすり合わせし会社として勤怠管理体制のゴールを模索することも良いでしょう。