特別永住者、在留資格「外交」「公用」の者を除く外国人労働者の雇入れおよび離職の際には、不法就労や労働基準法違反を防止する目的からハローワークへの届出が義務づけられています。
ご認識のとおり、雇用保険に加入する外国人を雇入れ・離職の際には、国籍や資格外活動許可の有無等を「資格取得届」「資格喪失届」に記載して、外国人の雇用状況を届出します。

短時間労働等の理由で雇用保険に加入しない場合は、「外国人雇用状況届出書」（以下「届出書」）の提出をします。また、離職の場合も同届出が必要です。
外国人労働者の在留カード等の提示を受け下記記載事項をご確認いただき、雇入れ・離職の翌月末までに管轄ハローワークに届出書の提出をしてください。

〈記載事項〉
　氏名、生年月日、性別、在留資格、在留期間、国籍・地域、資格外活動許可の有無、雇入れ又は離職年月日、事業所の名称、所在地等

令和２年３月１日以降に雇入れ・離職をした外国人についての外国人雇用状況の届出においては、在留カード番号の記載も必要となります。

ハローワーク窓口への届出以外にも電子申請で届出を行うことも出来ます。
雇入れと離職の時には、定められた手続きに従って届出を行う必要がありますので、届出漏れのないようお気を付けください。