私傷病休職と育児休業に関しましては、会社の就業規則より法令の方が優先されるため、育児休業を優先する必要がございます。私傷病休職については法令での明確な記載はございませんが、育児休業については育児・介護休業法にて取り扱いが明記されているためです。
よってご質問の通り、お申出に基づいて育児休業へ切替えることになります。

ただ、復職・退職の判断を行うための私傷病休職の期間のカウントは、産休・育休中であっても中断する必要はないものと考えられます。私傷病休職は労働者に対して療養・復職の機会を与え、解雇を猶予するために企業が設定する期間であるためです。
設定していた私傷病休職期間終了の時点で復職可能・不可能の判断をし、復職可能かつ育児休業中であれば、育児休業を継続します。

一方で、私傷病休職期間終了の時点で、育児休業がなくとも復職不可能であることが明確である場合は、私傷病休職期間満了による退職としても差し支えないということになります。（この場合は出産・育児休業等の取得を理由とした解雇とはなりません）
しかしながら、育休中の場合、リハビリ的勤務の継続的な実施も難しく、復職不可能であると明確に判断することは困難かと存じます。育児休業の終了を待って判断されたり、産業医等へご相談されたりということも必要です。

手続きにつきましては、傷病手当金（健康保険）と育児休業給付金（雇用保険）の間に併給調整は入らず、また、傷病手当金受給中に社会保険料の免除手続きを行うことで調整が入ることもございません。
各所で必要な手続きを取っていただくのがよろしいかと存じます。