勤怠管理ですからその責任は雇用している会社（の所属部署）にあります。
海外出張のように場所が離れ、時差もあるようなケースでは日本側で勤怠管理を行うことは容易ではありませんが、ご質問のように1ヶ月にわたる出張ということは、それなりに重要な役割を担っているものと思われます。

とすれば、理想的には日次で業務報告してもらうことでそれまでの進捗と明日以降の予定を知っておくことは、出張者の所属部署として必要なことではないでしょうか。
業務の報告をしてもらうことで、長時間の残業の理由や休日出勤の要否も把握でき、勤怠状況もおのずと把握できます。
加えて逐次コミュニケーションが取られていることにより勤怠の報告もれも防げるでしょう。

海外出張の目的によっては現地側の関与の度合いも深いケースが考えられますので、時間外労働や休日出勤の要否の判断をある程度委ねざるをえない面はあるかと思いますが、そういった場合であれば現地側も締め日までに勤怠を報告するために一定の協力が得られるはずです。
いずれにせよ日本の所属部署に責任をもって対応してもらうものです。