従業員代表については、労働基準法施行規則等により、「労使協定の締結等を行う者を選出することを明らかにして、投票、挙手等の方法による手続きで選出された者であること、使用者の意向によって選出された者ではないこと」とされています。
このことを踏まえ、ご質問に回答いたします。

従業員代表者の選出方法については、本来は、従業員側で挙手や投票などの民主的な方法による選出が望ましいですが、従業員側で立候補者がない場合、会社が候補者を推薦し、事業場の労働者の賛否を確認する方法でも、最終的には事業場の労働者の意向で従業員代表者が選出されたといえるので問題ありません。
ただし、ご質問のケースでは、会社が指名した候補者の意思確認が全社員への賛否確認の後で行われていますが、あらかじめ候補者の意思確認をして従業員代表者となることを同意を得た上で、全体への周知、賛否の確認を行う必要があります。

従業員代表者は事業場単位での選出となりますので、事業場で1名を選出いただければ問題ありません。ご質問にある各部門がそれぞれ異なる事業場の場合は、それぞれで従業員代表者の選出が必要となります。

従業員代表者の任期についての法律上の縛りはないため、1年として設定しても問題はありません。
ただし、あまり長い期間を設定すると、その間に事業場の労働者の構成が変動し、従業員代表の要件を欠くこともにもなりうるので、36協定の有効期間である1年を上限として設定しておくのが妥当かと思います。