まず、結論から答え致します。

　質問①の場合は、まず出社しても実際に仕事を全くしていない為、御社が有給休暇として処理することを承認すれば、本人が希望する限り有休扱いとしても特に問題ございません。原則として、事前申請であれば使用者は、有給休暇を労働者の請求する時季に与えなければならないのが原則とされます（第39条第5項）。ただ、今回の当日体調不良等の理由で業務を行うことができない場合は、労働基準法により、欠勤後に、本人の請求によりその欠勤に有給休暇を充当しても違法とはなりませんが、労働者が権利として請求権を持つものではなく、充当を認めるか否かは、使用者の判断によるところになります。（昭６３．３．１４基発１５０号）

　質問②の場合は、労働基準法上では有給休暇を与える必要がありませんが、社会通念上あるいは本人の希望により、御社が承認すれば、病気などの場合の突発的な欠勤に有休を充てられるような措置を取ることは特に問題ございません。
　
　また、御社は半休制度がありますので、就業規則に沿って、午前は出勤扱いで、午後を有休として取り扱うことは特に違法ではありません。なお、午前の所定時間に足りない部分は、運用上では勤怠控除になります。法的に問題ない為早退扱いというスタイルはありますが、社員が有給休暇として処理を希望する場合、早退扱いで控除されてしまうと社員のモチベーション低下に繋がる可能性がございます。もし、御社でこのようなケースが多い場合であれば、労使協定により、年次有給休暇について５日の範囲内で時間を単位として与えることができますので、時間単位の有給取得制度を検討されたらいかがでしょうか。