「育児・介護休業法」には、「介護のための勤務時間の短縮等の措置」として、「要介護状態にある対象家族を介護する労働者について、対象家族１人につき、介護休業をした日数と合わせて少なくとも93日間利用可能な勤務時間の短縮等の措置を講じること」を事業主に求めています。
また、「勤務時間の短縮等の措置」として、「短時間勤務の制度」、「フレックスタイム制」、「始業・就業時刻の繰上げ・繰下げ」、「労働者が利用する介護サービスの費用の助成」、「その他これに準ずる制度のいずれかの措置」が定められています。

そこで、ご質問の件ですが、「要介護状態」とは、ご質問にある通り「負傷、疾病又は身体上若しくは精神上の障害により、２週間以上にわたり常時介護を必要とする状態」であることに間違いはございません。
次に、「時差出勤」といえども、「介護休業」と合わせて対象家族１人につき93日間という利用制限があるわけですから、「介護休業」と同様に取り扱う必要がございます。
したがいまして、介護状態を証明する書類として「診断書等」の提出を求めることには問題はございません。

ただし、提出を求める証明書類は、要介護状態にある事実を証明できるもので労働者が提出できるものとすべきで、就業規則において医師の診断書の添付を義務づけることなどは望ましくありません。