自身の健康管理はとても重要であり、また会社としてもずっと元気に働いてほしいと思っているので、と健康診断の意義、重要性について伝える・法律上（労働安全衛生法66条）、労働者には健康診断を受診する義務があることについて伝える上記のような点を中心に説得するのがよいかと思います。
また、担当者が言っても聞かない場合は、未受診者の上司から受診を働きかけてもらうのがよいでしょう。

解雇などの対応については、この点だけをもって解雇はいき過ぎではありますが、懲戒処分の対象とすることは可能です。
判例では減給が認められた事例もございます。
未受診者がいるということは会社にリスクが生じる問題となりますので、そういった対象者が多数でないようにするためにも、厳しい態度で臨んで問題ありません。
何かあったときのために、会社としては受診をきちんと勧めた、という記録を残しておかれるとよいでしょう。