1）選任方法は、特に指定された方法はなく、指名することで選任となります。
たとえば、希望者を募集しその中から選任したり、推薦を受けてその者を選任することもできます。
派遣先責任者の選任にあたっては、労働関係の法律の知識があること、人事・労務管理の経験があること、派遣労働者の労働条件などを決定する権限が行使出来る者を選任するよう求められています。

2）派遣労働契約書・派遣先管理台帳に派遣先責任者名を記載する必要があります。

3）派遣先責任者の届け出義務はありません。

4）派遣社員1人だけを雇った場合でも、派遣労働契約書・派遣先管理台帳に派遣先責任者の記載が必要ですので、1人でも選任が必要と思われます。
また派遣先事業者は、派遣契約の周知・派遣先管理台帳の整備・派遣労働者からの苦情処理・安全衛生に関すること・派遣元との連絡調整等に関して対応する必要があります。
それらの対応を1つの窓口で行う者として、派遣先責任者を選任することをお勧めします。
尚、派遣先責任者の義務のある事業者が派遣先責任者を選任しなかった場合は、労働者派遣法第61条第3号に該当し、30万円以下の罰金に処せられる場合があります。