どちらが良いかは場合に寄ります為、一概にこちらが良いという回答にはならないのですが今回のケースですと一般的には国民健康保険への加入とされるケースが多いかと思われます。
どちらを選ぶかの一番大きな理由は保険料になるかと思われますが、国民健康保険への加入であれば今回の条件(当月初日～当月途中日)での加入であれば保険料は発生致しません。一方、任意継続の場合は同月得喪という事で資格を取得した月に資格を喪失する場合は1か月分の保険料がかかる事になります。その為、同月内で健康保険に加入(会社の社会保険を指します)する場合であれば、国民健康保険への加入をされることが一般的には多いと考えられます。

今回は同月内でのお話ですが、これが同月内でない場合(1か月以上の期間がある場合)のお話もお伝えいたします。
国民健康保険：1か月以上の加入となる場合は保険料が発生致します。また被扶養者がいる場合などは国民健康保険は一人一人が加入することになる為全員分の保険料が発生することになります。
任意継続：保険料が発生する事は同じですが、被扶養者がいる場合には会社に在籍していた際と同じく扶養者(ご本人)のみ保険料が発生する事になります。また保険料としては任意継続の場合は会社在籍時に会社が負担していた保険料も自身で支払う必要があり、原則的に２倍の保険料となります。(上限がありますので絶対に２倍になるわけではありません)
実際の保険料がいくらになるのかや保険料以外のメリットデメリットについては都道府県(市区町村)や保険組合の種類に応じて変わってくる事があります為、精査をして加入する保険を決めるという事であればご本人様自身で各保険者に対して問い合わせをして頂くようご案内をされる事をお勧めいたします。