回答いたします。
高年齢者雇用継続基本給付金の資格取得を行った後に退職して再就職した場合、
要件を満たしていれば新しい会社で再度取得手続きを行うことで下記の受給が可能です。

・高年齢再就職給付金
基本手当を受給した後、60歳以後に再就職して
再就職後の各月に支払われる賃金が基本手当の基準となった賃金日額を30倍した額の7575％未満となった方で、
以下の３つの要件を満たした方が対象となります
　イ基本手当について算定基礎期間が５年以上あること。
　ロ再就職した日の前日における基本手当の支給残日数が100 日以上あること。
　ハ安定した職業に就くことにより被保険者となったこと。
※再就職手当を受けている場合は支給対象になりません。



なお、こちらのケースではスタッフの側から申告がありましたが、
実務上ご本人が申告してこないケースもあります。
雇用保険の資格取得手続きを行った際、
高年齢者雇用継続の受給手続きが可能な場合は、
決定通知内にその旨の記載がありますので、手続きを担当している方は見落とさないようにしてください。