まず労災保険とは労働者の業務上の事由または通勤による労働者の傷病等に対して必要な保険給付を行い、あわせて被災労働者の社会復帰の促進等の事業を行う制度です。
正しくは労働者災害補償保険といい、その名の通り労働基準法に規定されている労働者のための保険であるので、委託契約や請負契約の個人事業主は労働基準法の労働者ではないため、基本的に労災保険に加入することはできません。

しかし、労働者以外の方のうち、業務の実態や、災害の発生状況からみて、労働者に準じて保護することがふさわしいと見なされる人に、一定の要件の下に労災保険に特別に加入することを認めているのが、労災保険の特別加入制度です。
特別加入できる方の範囲は、中小事業主等、一人親方等、特定作業従事者、海外派遣者の4種類となります。

これまでは自動車及び原動機付自転車を使用して貨物運送事業を行う者を、一人親方等として特別加入の対象範囲としていましたが、2021年９月１日からは、自転車を使用して貨物運送事業を行う者も、特別加入の対象になりました。

よって今回の自転車を使ったフードデリバリーの仕事でもご自身で労災保険に特別加入することで、労災保険の適用を受けることができます。
なお、労災保険の保険料ですが、通常は全額が事業主負担ですが、特別加入は全額自己負担となりますのでご注意ください。