再雇用がお手続き上、どの様に解釈されているかを交えてご回答いたします。

一般的に再雇用があると給与額が下がるため、社会保険では同日得喪という仕組みがございますが、同日得喪という仕組みがなかった場合、月変により標準報酬月額が下がることになります。たとえば9/1に給与額が下がると12月変(1月支給反映)となり9月から11月までの3か月は給与が下がる前の保険料となります。
しかし再雇用の流れを考えると、雇用関係は1日の間も空けず継続しているとは言え、定年退職と雇用契約の締結による再入社(再雇用)が行われていることは事実ですので、定年退職による喪失お手続きと再入社による取得お手続き届を行っても問題なく、就業規則の再雇用の定め等に基づく会社の判断で行えます。
たとえば8/31定年退職、9/1再雇用の場合は喪失日9/1、取得日9/1という同日得喪となります。結果として保険料は、8月までは下がる前の給与額の保険料、9月からは下がった後の給与額に対する保険料となり、月変に比べ保険料を抑えることができます。
ただ再雇用により給与額が下がらないのであれば同日得喪は不要です。
また、再雇用者に被扶養者がいる場合、新たな扶養追加のお手続きも必要です。

雇用保険では同日得喪という仕組みはなく、給付を受ける制度がございます。
この給付は60歳以上65歳未満の方を対象として、厚生年金を受給できる65歳までの期間に、原則60歳時点の給与と60歳以降の給与が60歳時点の75%未満となっている場合、60歳時点の給与の75%までの金額を月ごとに受給できる制度です。趣旨としては、多くの会社様の定年退職が60歳の中で、定年退職から原則の年金受給開始年齢である65歳までの生活を保障することです。再雇用により一定基準まで給与額が下がらないのであれば給付はございませんが、会社のお手続きとして60歳到達賃金月額証明は申請しておくことが望ましいとされています。