今回のケースのように、健康保険証の未着により10割負担をした場合、
医療機関にもよりますが、月内ではないと窓口精算に対応してもらえないことがあります。
その場合は、加入している健康保険協会・ないし組合に申告して還付を受けることになります。

例えば健康保険協会であれば、「健康保険療養費支給申請書（立替払等）」を記載して保険証に記載のある支部へ申請することになります。
その際、添付書類として、診療明細書および領収書が必要になります。
健康保険協会以外の組合に申請する場合、申請書類の名称等が異なる場合がありますので、所属している組合に確認してください。

なお、この届出は2年で時効になりますので、保険証が届き次第速やかに届出を行ってください。