御社の規定に定めている嘱託での再雇用でなくても、以下の条件に当てはまれば給付金の対象となりますので申請は可能です。

支給対象
・60歳以上65歳未満の一般被保険者であること
・被保険者であった期間が５年以上あること

雇用保険の一般被保険者とは、高年齢被保険者、短期雇用特例被保険者、日雇労働被保険者以外の被保険者で、1週間の所定労働時間が20時間以上である者、また同一の事業主の適用事業に継続して31日以上雇用されることが見込まれる者となります。
法人の理事や取締役なども被保険者となりませんので、対象外です。

また、高年齢者雇用安定法の改正にある業務委託契約のように、定年後の新しい働き方が浸透していく可能性があるかと思いますが、業務委託契約であれば、会社と雇用関係を結ばず、時間的制約も基本的にはありませんので、こちらも被保険者とはなりません。

テレワークで出社をしないとのことですが、再雇用契約を締結する際に、上記に記載の条件を満たしている事が必要となります。

ですが、高年齢雇用継続給付金に重点を置くのではなく、令和7年度から新たに60歳となる労働者への給付が段階的に逓減していくことを踏まえ、高年齢労働者の処遇の改善に向けて取組むのが良いかと思います。