①のご質問ですが、まず労災保険二次健康診断等給付とは、労働安全衛生法に基づいて行われる一次（定期）健康診断の結果、脳・心臓疾患に関連する一定の項目に異常所見がある方に対し、二次健康診断および特定保健指導が労災保険より現物給付方式にて給付されるものです。従いまして、事業主、労働者ともに費用負担なく受けることができます。

②のご質問については、厚生労働省からの【健康診断結果に基づき事業者が講ずべき措置に関する指針】において「事業者は、労働安全衛生法第66条第1項の規定による健康診断又は当該健康診断に係る同条第5項ただし書の規定による健康診断における医師の診断の結果に基づき、二次健康診断の対象となる労働者を把握し、当該労働者に対して、二次健康診断の受診を勧奨するとともに、診断区分に関する医師の判定を受けた当該二次健康診断の結果を事業者に提出するよう働きかけることが適当である。」との指針がありますので、対象者には速やかな受診を勧め、その結果を会社に提出するようにすべきと存じます。
また、対象者は過労死に関連する脳・心臓疾患を発症する危険性が高いと判断された方ですので、会社として健康管理義務の観点からも受診させるのが望ましいと存じます。

なお、二次健康診断等給付を受けようとする労働者は、二次健康診断等給付請求書(様式第16号の10の2)に必要事項を記入し事業主の証明を受け、一次健康診断の結果を証明することができる書類(一次健康診断の結果の写しなど)を添付した上で、当該請求書を二次健康診断を受診した病院を経由して所轄の都道府県労働局長に提出する必要がございます。
（厚生労働省 労災保険二次健康診断等給付の請求手続）
https://www.mhlw.go.jp/new-info/kobetu/roudou/gyousei/rousai/dl/040325-1.pdf