結論から申し上げますと、有給休暇を認める義務まではございません。

ご認識の通り、有給休暇を取得する日は労働者が指定することによって決まり、使用者は指定された日に年次有給休暇を与えなければなりませんが、使用者には時季変更権（労働者の指定した日に有給休暇を与えると、事業の正常な運営が妨げられる場合に使用者が休暇日を変更する権利）が認められています。使用者が時季変更権を行使するには代替要員確保等、業務調整の時間的余裕が必要であるため、有給休暇は事前申請が原則とされています。

当日でも始業時間前であれば事前申請と思われがちですが、労働日は暦日計算によるものであって、原則として午前0時からの24時間で「一労働日」になります。当日の有給休暇申請は既に午前0時を過ぎているため始業時間前であっても法律上は事後申請の扱いになり、認めなくても違法性はございません。但し、始業時間前であって、業務調整の必要性がなく、事業の正常な運営を妨げるとは言えない場合には、有給休暇を取得させないことは不当と判断される可能性がございます。

尚、有給休暇の事後申請については法律上特段定めがありませんので、会社の判断で認めても差し支えございません。急病等やむを得ない事情の場合もあるかと存じますので、事後申請を理由に一律に認めないのではなく、どのような場合には認めるのか、社内でのルールを決めておくとよいかと存じます。

但し、事後申請を有給休暇として取り扱えるのは、あくまでも労働者から有給休暇の申し出がある場合に限ります。会社の判断で勝手に有給休暇とするのは違法となりますのでご注意ください。