支給申請をすることは可能だと思われますが、場合によっては前職に雇用保険被保険者六十歳到達時等賃金証明書の作成を依頼する必要性があります。

高年齢雇用継続給付の支給要件は以下の通りです。
1.60歳時点の賃金と比較して、60歳以後の賃金（みなし賃金を含む）が60歳時点の75％未満となっていること
2.60歳以上65歳未満の一般被保険者であること
3.被保険者であった期間が5年以上あること

今回の場合でいうと、該当の方が57歳(以前)の時から継続して雇用保険に加入し続けていて、なおかつ前職を辞められてから御社に入社されるまでの期間が1年以内の期間である場合には高年齢雇用継続給付の支給申請が行えます。
また、前職の雇用保険加入期間が4年であった場合(それ以前に雇用保険の加入がなかったものとします)、前職を辞められてから御社に入社されるまでの期間が1年以内の期間である場合には御社で1年間雇用保険に加入されていればその時点から高年齢雇用継続給付の支給申請が行えます。

前者の場合、前職に勤められている時点で受給資格が発生しているので、前職の60歳の時点での賃金証明が必要になります。
後者の場合、受給資格が発生しているのが御社の在籍時になりますので、御社での受給資格発生時点での賃金から要件を見ることになります。前職での賃金額は考慮されませんのでご注意ください。

受給資格が発生した時点で雇用保険被保険者六十歳到達時等賃金証明書の作成、提出をすることは可能です。賃金額が減っていない場合でも今回のように60歳以降に退職し、別の場所で高年齢雇用継続給付を受けられる方もいらっしゃいますので、もし御社でも要件に該当する方がいらっしゃれば前もって作成しておくようにされるのがよろしいかと存じます。
なお、すでに受給資格を持たれている方が別の場所で雇用保険を取得した際、雇用保険被保険者資格取得等確認通知書(事業主通知用)に高年齢雇用継続給付受給可という表記がなされます。
こちらをもってハローワークにいきますと、高年齢雇用継続給付支給申請書をもらうことが出来ますので手続きをスムーズに行うことが出来ます。