回答いたします。

高年齢雇用継続基本給付金の資格取得を行った後に退職して再就職した場合、
要件を満たしていれば新しい会社で再度取得手続きを行うことができます。

・高年齢再就職給付金
基本手当を受給した後、60歳以後に再就職して
再就職後の各月に支払われる賃金が基本手当の基準となった賃金日額を30倍した額の75％未満となった方で、
以下の３つの要件を満たした方が対象となります
　イ基本手当について算定基礎期間が５年以上あること。
　ロ再就職した日の前日における基本手当の支給残日数が100 日以上あること。
　ハ安定した職業に就くことにより被保険者となったこと。
※再就職手当を受けている場合は支給対象になりません。

そのため、上記の要件を満たしていれば、転職先の会社さんで申請を行っていただくことで、支給が継続されます。申請の旨を忘れずに転職先の会社さんにお伝えして手続きしていただいてください。