結論としては、両方の勤務先で資格取得する必要があります。
同時に2カ所以上の会社で社会保険の加入要件を満たし、それぞれ社会保険に加入する必要のある従業員のことを「二以上勤務者」といいます。

まず、社会保険の加入条件ですが、特定適用事業所（厚生年金保険の被保険者の総数が51人以上）においては下記の条件となります。
・週の所定労働時間が20時間以上
・月額賃金が8.8万円以上
・2カ月以上雇用される見込みがある
・学生ではない

手続きとしては、通常通り、資格取得届を提出します。また、どちらの会社を主たる勤務先とするかを本人に選択してもらい、主とする勤務先から「被保険者所属選択・二以上事業所勤務届」を提出します。
健康保険の観点では、双方の健康保険が協会けんぽか、健保組合かで対応が異なりますので、注意が必要となります。
手続き完了後、双方の勤務先に「二以上事業所勤務被保険者標準報酬決定通知書」が送付されます。

保険料の計算は、二以上勤務者の場合、それぞれの勤務先での月額報酬を合算し、保険料を按分することになります。この保険料の決定は、主とする会社（選択事業所）の管轄年金事務所が判断します。給与システム等で社会保険料を自動計算している場合は、控除額が異なることとなりますので、注意してください。

なお、雇用保険については、どちらか一方でのみの加入となりますので、加入を選択した勤務先でのみ雇用保険料を徴収ことになります。原則的には賃金額が高い勤務先で加入することとなります。
注意点として、退職となった場合、離職票に記載される賃金額や基礎日数も一方の勤務先での金額しか記載されません。