原則として7月1日の勤務として取り扱いますが、御社の就業規則に別段の定めがある場合は、その規定に従う事になるというのが回答となります。
まず原則について、改正労働基準法の施行について（昭和63年1月1日 基発第1号）
https://www.mhlw.go.jp/web/t_doc?dataId=00tb1899&dataType=1&pageNo=1
におきまして
-------------------下記引用-------------------
１　法定労働時間
(２)　一週間の法定労働時間と一日の法定労働時間
(前略)
また、一日とは、午前〇時から午後一二時までのいわゆる暦日をいうものであり、継続勤務が二暦日にわたる場合には、たとえ暦日を異にする場合でも一勤務として取り扱い、当該勤務は始業時刻の属する日の労働として、当該日の「一日」の労働とするものであること。
-------------------上記引用-------------------
上記の通り記載されています。
暦日単位で1日を定めますが、継続勤務の場合は始業時刻が属する日の労働となります。
今回のケースが6月30日の午前9時から勤務し午後6時に一度退勤、その上で7月1日の午前2時に出勤して勤務を開始したのであれば、その勤務は「7月1日のもの」と考えます。6月30日の午後6時で退勤しておらずずっと勤務が継続していて7月1日の午前4時に退勤した、という場合は午前4時までの勤務は全て6月30日の勤務として考えるという事になりますが、質問文中で午後6時まで勤務した後、翌日午前2時から勤務を開始したという記載をされている為恐らく継続勤務ではないものと思われますので、7月1日の勤務として取り扱う事が原則となると言えます。

ただし、御社の就業規則にて「1日」の取り扱いを別で定めている場合はその規定に従います。
このようなケースを見越して、勤怠管理における1日の区切りは午前5時とする、というような定めをしている場合は午前2時～午前4時の勤務も前日に含まれることになる為、6月30日の勤務として取り扱う必要がある、という事になります。
御社の給与が末締めである場合、6月30日の勤務か7月1日の勤務かによって支給する給与に影響があるものと思われます。確認を頂いた上で、もし就業規則に記載がないとすれば今後の事も考えどのように取り扱うのかを就業規則に記載されますと今後同様のケースで判断に迷う事はなくなるかと存じます。