傷病手当金は、業務外の事由での病気やケガにより仕事を休み、会社から給与をもらえない場合に支給されます。また給与をもらった場合は、給与日額と傷病手当金の日額を比較し、傷病手当金の日額が上回った場合に差額が支給されるものとなります。

今回のケースでは、月給者と時給者で支給の可否が変わる可能性が高いです。

1.月給者のパターン
1日目から3日目に有給休暇を取得していて、4日目、5日目が公休なので、
給与から勤怠控除が発生しないものと思われます。よって支給されない可能性が高いです。

2.時給者のパターン
4日目、5日目が公休で支給は0円となりますので、支給される可能性があります。

【傷病手当金の支給条件】

①業務外の事由での病気やケガであること　※健康保険で診療を受けれないものは対象外
②医師の診断による労務不能で業務につけていないこと
③4日間以上業務を休んでいること　※待期期間は、連続した3日間を休んだことにより完成します
④給与をもらっていないこと　※傷病手当金の日額より少ない場合は、差額が支給されます
　
【傷病手当金でのポイント】

・同じ傷病であれば、支給開始日から最長1年6ヶ月間まで支給されます。
・有給休暇や公休は、待期期間や支給期間に含めることができます。
・待期期間が完成した後であれば、その後の日に出勤があった場合も支給は可能となります。
・申請の期限は、労務不能であった日ごとの翌日から2年となります。

（以下、協会けんぽの傷病手当金についてのホームページ）
https://www.kyoukaikenpo.or.jp/g3/cat320/sb3170/sbb31710/1950-271/