結論としては、社会保険に加入しなければならない、という回答になるかと存じます。
「最低賃金の改正の兼ね合い」の為に雇用契約期間が1か月とされていただけで、本来であればある程度の長さの雇用契約期間が見込まれていたのではないかと推測されます。今回は次回以降の契約を結んでいなかったとはいえ、雇い入れの段階でアルバイトの方本人も御社側もこの1か月だけで契約が終了する＝契約の更新はない、とお互いに認識していた場合を除いて、契約の更新が見込まれるという事になります。その上で1か月で退職した、という事になる為入社日から退社日までが1か月であったとしても社会保険にはその期間加入することになります。


契約期間だけの話であれば、年金機構のHPの記載にございます通り
被保険者とされない人：2カ月以内の期間を定めて使用される人
但し、当初の雇用期間が2カ月以内であっても、当該期間を超えて雇用されることが見込まれる場合は、契約当初から被保険者となる。
という記載がございます。

出典：日本年金機構HP 適用事業所と被保険者
https://www.nenkin.go.jp/service/kounen/tekiyo/jigyosho/20150518.html

またこのページ中にリンクがございます
年金制度の機能強化のための国民年金法等の一部を改正する法律の施行（令和4年10月施行分）に伴う事務の取扱いに関するQ＆A集
の中の問2に対する答えが、上記2か月以内の期間を定めて使用される人についての詳細な説明となっています。

結果的に契約期間が1か月であったとしても、当初から契約の更新が見込まれていれば入社日より社会保険加入となります。手続きが漏れていたり意図的に加入しなかった場合は後々で問題になりますので、適切にお手続き頂くようお伝え申し上げます。