退職者の雇用保険喪失手続きを行う際、離職票の申請は必ずしも全てのケースで必要というわけではございません。
確認していただきたい点として、まずは対象従業員の退職時の年齢が59歳以上か否かという点です。
もし59歳以上の場合、本人の希望の有無に関わらず離職票を申請しなければなりません。
59歳未満の場合、退職者が発行を希望する場合は必ず離職票を申請する必要があります。
失業保険の受給以外の用途で使用する可能性もございますので、本人が発行を希望した場合は速やかに申請しなければなりません。
反対に、発行を不要としている場合は申請する必要はございません。
ただし、退職者が後日必要とする可能性があるため、退職後に発行を希望した際は申請が必要となります。

上記の点から、59歳未満の場合は退職時に離職票の申請をしていない場合、後日発行を希望される場合がありますので、要不要の連絡が何もなければ申請しておくと安心かと存じます。
最終的には、退職者に状況を確認し、必要に応じて適切な手続きを進めることが重要です。