現在は育児休業期間の免除制度はありません。
平成31年4月より産前産後の一定期間の国民年金保険料が免除される制度が始まりました。そして、令和6年1月より産前産後期間の国民健康保険料免除制度がスタートしました。
※お住いの各市区町村にお問い合わせください。

産前産後期間の国民年金保険料が免除されます
https://www.nenkin.go.jp/service/pamphlet/kokuminnenkin.files/sanzensango.pdf

国民健康保険料免除(東京都中央区参照)
https://www.city.chuo.lg.jp/a0024/kurashi/hokennenkin/kokuho/kokuhonitsuite/noufu/sanzensango.html

ただし、国民年金法の改正として、第1号被保険者(子が１歳までの父母)に対する育児期間の保険料免除制度が令和８年10月施行される予定です。
自営業者やフリーランス等の多様な働き方と子育ての両立支援という観点から、現行の産前・産後期間の保険料免除制度や厚生年金保険の育児休業期間の保険料免除措置を参考としつつ、子を養育する国民年金第１号被保険者について、育児期間に係る保険料免除措置が創設される予定です。

国民年金における育児期間の保険料免除
https://www.mhlw.go.jp/content/12601000/001224071.pdf